10살 아이, 열이 일주일째 지속되고 기침, 가래로 구토, 어떤 검사 필요?

5세 아이의 지속적인 기침과 가래, 천식 가능성은? 어떤 검사가 필요할까요?

5세아이인데, 3주 가까이 기침, 가래가 계속됩니다. 계속 심한 건 아니고 아침이나 많이 뛰었을때, 그리고 먹을 때, 자기 전, 잠자다가 심하게 합니다. 심하게 하면 헛구역질도 하고요. 다른때 말고 자기전이나 자다깨서 하는 기침이 계속 되어서 염려스러워서요.. 첫주는 집에서 수분섭취, 호흡기 조절하며 지냈고 2주차 부터 소아과 2번 방문해서 3일 전까지 약먹었는데 별다른 소견 없이 기관지 약 주셨어요. 약 먹으면 아주 쪼끔 증상 완화는 되는데 크게 낳아지진 않아요. 열 없고 쳐짐이나 식사 주는 것도 전혀 없고 심지어 콧물도 안나고 재채기도 안하는데 그냥 기침만 자꾸 합니다ㅠㅠㅠ 천식은 아닌지, 혹시 엑스레이나 씨티 찍어봐야하는 건 아닌지.. 조언 부탁드립니다ㅠㅠ