목감기로 기침과 가래가 나오는데 항생제 처방이 필요할까요?

사흘 전 목감기에 걸렸는데, 어제부터 기침이 시작되고 오늘은 황갈색의 단단한 가래가 미량의 피와 섞여서 나오기 시작했습니다. 밤에 나이퀼을 먹어도 코가 뚫리지 않고요. 현재 먹고 있는 약은 낮에는 이부프로펜, 밤에는 나이퀼입니다. 발열은 어제부로 대체로 가라앉은 느낌입니다만 가슴이 답답하고 기침이 나오면 가래가 엉긴 느낌이 들면서 숨쉬기가 좀 어려운데, 항생제를 처방받으러 가야 할까요?