한 달 째 기침이 안 멈추는데 어떤 병원을 가야되나요?

제가 약 한 달 전에 기침 증상이 시작되더니 기침때문에 잠도 못 자고 일상이 힘들 정도가 되었습니다. 근데 기침 외에는 전혀 아무 증상이 없고 목도 안 아프고 콧물도 없는데 오로지 기침만 했거든요 기침이 심하니 미열은 좀 있었고요 그래서 일주일 뒤에 병원을 가니까 기관지염이라 하더라고요 약 먹으면 나을 거랬는데 전혀 호전이 안되서 다른 병원을 갔는데 또 기관지염 의심된다고 하더라고요 근데 그 병원에서는 기침약 알러지약 추가해줬는데 기침이 엄청 많이 나아졌어요 근데 확 끊어지진 않이서 2주정도 그 병원에서 약을 먹었고 그렇게 지금 한 달인데 지금 기침 자체는 훨씬 덜 하긴 하지만 증상이 다른게 전에는 기침만 햇는데 요새는 기침은 덜하지만 가래가 끓고 맑은 콧물이 계속 흐릅니다... 아침마다 기침할 때 소리도 달라졋어여 가래끓는 기침.. 그래서 노란 가래를 막 뱉어내야 좀 시원 그리고 웃음이 터질때 기침이 막 나와여 폐의 문제일까요? 이비인후과를 가야될지 내과를 가야될지 모르겠어요